Considerado uno de los conceptos más enigmáticos de la ciencia, el infinito ha desconcertado a los matemáticos a lo largo de la historia. En 1874, Georg Cantor demostró que la infinitud podía ser estudiada matemáticamente, abriendo las puertas a un fascinante mundo de paradojas y desafíos. Entre estos desafíos, destaca el intrigante «Gran Hotel de Hilbert» y su enigmática paradoja del hotel infinito.
David Hilbert, un matemático alemán, utilizaba este peculiar hotel para ilustrar conceptos relacionados con el infinito. Imaginemos un hotel con un número infinito de habitaciones. Aunque el hotel esté completamente ocupado, Hilbert proponía un método para acomodar a más huéspedes: simplemente moviendo a cada huésped a la habitación siguiente. Así, liberando la primera habitación, se creaba espacio infinito para nuevos visitantes.
La llegada de un huésped al hotel infinito plantea un escenario fascinante. Un viajero, en una noche de tormenta, se encuentra con la desalentadora noticia de que el hotel está completo. Sin embargo, la recepcionista, posiblemente versada en matemáticas, encuentra una solución ingeniosa. Pide a cada huésped que se mueva a la habitación siguiente, liberando así la primera para el recién llegado. En el Gran Hotel de Hilbert, no existe el concepto de «última habitación», ya que el infinito siempre permite «un lugar más» al final.
Este mecanismo de reorganización puede repetirse infinitamente para acomodar cualquier número adicional de huéspedes. Sin embargo, la paradoja se intensifica cuando se plantea la pregunta: ¿Qué sucede si llegan infinitos pasajeros más al hotel ya completo?
Imaginemos una excursión con infinitos turistas que necesitan hospedarse esa noche. El truco anterior de reubicar a los huéspedes no sería viable, ya que nunca terminarían de recorrer los infinitamente largos pasillos del hotel para llegar a sus nuevas habitaciones. La solución ingeniosa es pedir a todos los huéspedes que se muden a la habitación con el doble de su número original, dejando todas las habitaciones impares libres para los recién llegados.
Pero, ¿y si al Gran Hotel llegaran infinitos autobuses con infinitos pasajeros cada uno? Hilbert propone asignar habitaciones utilizando un sistema de numeración basado en potencias de números primos, garantizando que cada nuevo huésped tenga una habitación única. El hotel de Hilbert, una vez más, vence a la paradoja.
La Paradoja del Hotel Infinito sigue sorprendiendo a científicos y filósofos debido a su capacidad para desafiar nuestra comprensión intuitiva del infinito. Aunque se presenta como un concepto teórico y abstracto en matemáticas, sus implicaciones y principios subyacentes encuentran aplicaciones prácticas en diversas áreas, ofreciendo perspectivas únicas y soluciones innovadoras a problemas complejos.
En conclusión, el Gran Hotel de Hilbert y su paradoja infinita nos invitan a explorar los límites de nuestra comprensión matemática y desafían nuestras percepciones del espacio y los números, demostrando que el infinito es mucho más que una idea abstracta: es un concepto que puede transformar nuestra manera de abordar problemas y expandir nuestros horizontes intelectuales.
Atte. Patricio Figueroa M – Profesor de Matemáticas
